Da mischst du zwei Fälle. wenn du das erste (1-p) weglässt würde das stimmen WENN sicher re kommt

okay, aber wie berechnest du den zusätzlichen erwartungswert für das kontra?

also ohne kontra ist der ew p- (1-p)

...okay, aber braucht's hier ned den ZUSÄTZLICHEN etwartungswert, der durch das kontra generiert wird

Wenn du kontra gibst gibt es eine re-grenze. Ich nenn sie mal y.

Dann gewinnst du i p Fällen doppelt, verlierst ohne re doppelt und mit re vierfach.macht: 2p-2(y-p)-4(1-y)

...googelt spieltheorie...

hast du da was gefunden dazu?

na, aber mei frau mault, weil ich schon seit einer halben stunde in mein deppertes handy reinschau und nicht ansprechbar bin. :)

Ich habe es mir wie folgt überlegt.

Anstelle von den Zahlen von 0 bis 100 sollen die Spieler zufällige Kommazahlen zwischen 0 und 1 bekommen. Das entspricht nicht mehr exakt dem ursprünglichen Problem, aber es ist sehr nahe dran und so rechnet es sich leichter.

Den Kontra-Schwellwert von A nenne ich a und den Re-Schwellwert b. Das Kontra liefert dem Erwartungswert einen "Mehrwert" von (1-a)*a und das Re einen "Minderwert" (immer aus Sicht des Spielers A gedacht) von 2*(1-b)*(b-a). (Dabei setzen wir ohne Einschränkung b größergleich a voraus.) Es ergibt sich der Erwartungswert f(a,b) = (1-a)*a -2*(1-b)(b-a) = -a^2 + 3a - 2ab + 2b^2 - 2b.

Für festes a berechnet man jetzt das optimale b als b_opt = 1/2 * (a+1) [Stichwort Scheitelpunktberechnung...]. (Umgestellt schreibt sich das als 1-b_opt = 1/2*(1-a). Das bedeutet, dass B idealerweise mit halb so vielen "Händen" Re gibt wie A Kontra.)

Einsetzen ergibt den Erwartungswert f(a,b_opt) = -3/2 a^2 + 2a - 1/2. Das optimale a berechnet man als a_opt = 2/3. Entsprechend ergibt sich b_opt = 5/6.

Fazit: A sollte mit dem besten Drittel seiner "Hände" Kontra geben und B mit dem besten Sechstel ein Re.

Noch zwei Bemerkungen.

Der Erwartungswert bei beidseitigem optimalen Spiel ist f(2/3,5/6) = 5/36 = 0,1388. Spieler A ist also etwas im Vorteil, das finde ich ganz interessant. Mit anderen Worten ist also das "Kontra" eine schärfere Waffe als das "Re". Das hat mich zuerst etwas überrascht, aber eigentlich ist es nicht unlogisch. Ich denke, es liegt daran, dass A immer die Möglichkeit hat, Kontra zu geben, wohingegen B seine Re-Entscheidung nur in den Kontra-Fällen treffen kann. Mit einem extrem guten Blatt kann z.B. A immer Kontra sagen, wohingegen B darauf hoffen muss, dass A ein Kontra gibt, um dann ein Re draufsetzen zu können.

Für den Bereich 0..100 ergibt sich Kontra ab 67 und Re ab 84. Das deckt sich mit dem Resultat von christophReg.

Bonusaufgabe (5)
Wiederhole Aufgabe (4) unter Einbeziehung von Bock und Hirsch.

...es schaut so aus, als hätte ich nicht nur a halbe stunde, sondern mein leben lang in mein handy starren können, ohne dabei auch nur den geringsten dunst zu entwickeln.... :)

(man beachte jedoch den zufallstreffer mit den 5/6) :)

Wäre es nicht wesentlich einfacher, beim Kontra das klassische "drei sichere Trumpfstiche"-Prinzip anzuwenden... um vor einem Kontra den Deep-Thought-Computer anzuwerfen, fehlt a bissel die Zeit...

2

@suchtsau:die höhere gewinnerwartung des kg liegt daran, dass wir überhaupt nur die spiele anschauen, in denen p alias a grösser als 50% ist.interessant ist auch, dass ich ohne quadratische Funktion zum selben Ergebnis komme. das liegt an deiner Einführung des "mehrwerts" . ich hab versucht da deinen Ansatz nachzuvollziehen, komm aber nicht drauf.

die bedingung für das re kann man nämlich auch unabhängig vom erwartungswert verstehen. am besten mit deiner schönen urne:Wenn B die Zahl 80 zieht und weiss, dass A ab 70 kontra gibt, reduziert sich die Anzahl der für A möglichen Kugeln auf 31. Nur in zehn Fällen davon würde B jetzt gewinnen, in 20 nicht. Er gibt also kein Re. Ersetzt man 70 durch a und 80 durch b, kommt man auch ohne der Erwarzungswert von A auf die Bedingung b =(a+1)/2

ich hab jetzt ziemlich lang versucht eine beziehung zwischen den beiden Ansätzen zu finden aber es ist mir nicht gelungen. faszinierend, dass das Ergebnis gleich ist.
ich versteh auch immer noch nicht, wie du auf mehr- und minderwert kommst. würde mich über aufklärung freuen, gerne auch direkt.

nochmal mein Ansatz für den erwartungswert. letzlich basierend auf einem einfachen baumdiagramm:man gewinnt bei kontra doppelt in allen Fällen, in denen b kleiner a, man verliert wenn doppelt, wenn kein re kommt also wenn zwar b grösser a aber eben nicht gross genug und man verliert 4fach, wenn b den schwellenwert überschreitet. daraus ergibt sich:
E(x,y) = 2x-2(y-x)-4(1-y)=
4x+2y-4.
Dieser muss grösser sein, als der Erwartungswert ohne kontra, der x-(1-x) beträgt. damit kommt man dann auf x, wenn y wie oben beschrieben bestimmt wurde.

ah, den zusammenhang hab ich jetzt gecheckt(manchmal steht man auf der Leutung).wenn man deine funktion f(a,b) ableitet, ergeben die beiden gradienten genau meine beiden gleichungen.Aber das klärt noch nicht, wie du auf deine mehr/minderwerte kommst.

...das mehr und minder an erwartungswert des kontras bzw. res im vergleich zum normalen spiel ohne kontra?

wie leitet man f(a,b) ab?

ja, diese terme a(1-a) und (b-a)*(1-b)
einmal nach a ableiten, einmal nach b

Muss dann beides 0 ergeben, dann bekommt man den sattelpunkt der Fläche, die die Funktion bildet. Ich muss mir da auch mal ein Bild machen.

Zum Mehrwert beim Kontra: Es soll x die Zahl von A und y die Zahl von B sein. In welchem Bereich verdient Spieler A mehr als ohne Kontra?
Das Kontra ist aktiv, wenn x größergleich a ist. Das ist in der x-y-Ebene ein Rechteck mit Kantenlängen 1-a und 1.Innerhalb dieses Rechtecks gewinnt A (und zwar eine Einheit mehr als ohne Kontra) wenn x größer y ist, und verliert eine Einheit mehr, wenn y größer x ist. Das Rechteck wird also durch die Gerade x=y in zwei Teile zerteilt. Der Bereich, wo B gewinnt, ist der Teil oberhalb dieser Gerade, das ist ein Dreieck mit Flächeninhalt 1/2 * (1-a)^2. Der Bereich, wo A gewinnt hat entsprechend den Flächeninhalt 1*(1-a) - 1/2*(1-a)^2. Für den Erwartungs-"Mehrwert" ergibt das (1-a) - 2*1/2*(1-a)^2 = (1-a)*a.

Für Re geht es analog.

Die resultierende Formel ist so einfach, dass man hoffen kann, dass es vlt. noch eine direktere Erklärung dafür gibt.

Vieleicht noch ein Fazit. Ausgangspunkt war die Aussage "...stellt man sich auf lange sicht nicht am besten, wenn man immer dann hinhaut, wenn die grwinnerwartung bei größer 50% liegt?" vom spielfuehrer, die so nicht stimmt und die ich nicht stehen lassen wollte.

In unserem Modellspiel ist es so: Wenn der Spieler kein Re geben kann, ist es tatsächlich optimal, Kontra ab 50% Gewinnwahrscheinlichkeit zu geben (das war Aufgabe (3)). Durch die Möglichkeit zum Re hat der Spieler aber noch eine "Abwehrwaffe" in der Hinterhand, die das Kontra nur noch ab 66,6% Gewinnwahrscheinlichkeit rentabel macht (Aufgabe (4)).

Welche Erkenntnisse können wir nun aufs Kontra-Geben beim Schafkopfen übertragen? Die Situation ist natürlich viel komplizierter: Es sind 4 Akteure und nicht nur 2, die Gewinnstruktur hat Abstufungen durch Schneider, Laufende usw. Aber die Grundmechanismen dürften doch vergleichbar sein.
Also:

Wenn der Spieler nie Re gibt, kann man ab 50% Gewinnwahrscheinlichkeit ein Kontra geben. (Beim Abschätzen der Gewinnwahrscheinlichkeit sollte man aber mit bedenken, dass ein solcher Spieler oft generell ein Bremser ist (im Poker-Jargon ein passive-fish) und sowieso nur Premium-Soli ansagt...)

Gegen einen guten Spieler braucht es aber deutlich mehr als 50% Gewinnwahrscheinlichkeit für ein Kontra. Die Gefahr ist sonst zu groß, dass der Spieler ein sehr gutes Blatt hat und man am Ende vierfach zahlt (und man sich mit einem anprangerndem Forumseintrag eines Partners auseinandersetzen darf...)
Für den Kontra-Schwellwert dürften die 66,6% aus dem Modellspiel zumindest ein vernünftiger Richtwert sein.