ich bin froh, mit meiner dummheit zu dieser aus meiner sicht doch sehr interessanten diskussion beigetragen zu haben. :)

Danke für das Fazit, suchtsau. Kann man das alles im alltäglichen Spiel einsetzen? (Das soll nicht dispektierlich klingen)

ich antworte mal: ja ich denke dass kann man schon einsetzen. es zeigt, dass ein kontra eben auf lange sicht auch dann mehrwert bringt, wenn es nicht wasserdicht ist. manche von den kontras, die du kritisierst, sind vor diesem hintergrund nämlich durchaus vertretbar.

@suchtsau. Ich werd mich mit deinem Ansatz noch näher beschäftigen. Er führt zwar zum richtigen Ergebnis, was die Grenzen betrifft aber das Ergebnis für den Erwartungswert kommt nicht richtig raus. Eine einfachere, nichtquadratische Lösung ( mit richtigem erwartungswert) hab ich ja oben beschrieben.

@GrantigerPumuckl: Im alltäglichen Spiel problemlos einsetzbar ist jedenfalls der anprangernde Forumsbeitrag nach einem missratenen Kontra.

@christophReg: Linear kann der Erwartungswert nicht sein, sonst gibt es keinen Sattelpunkt.

@spielfuehrer: Danke für die Rückmeldung, für mich war es auch ganz interessant! Die Grundtendenz war mir zwar klar (also dass es mehr als 50% sein müssen für ein Kontra), aber die exakte Rechnung hatte ich zuvor auch noch nicht gemacht.

Weil es einfach zu gut passt hier noch eine Querverbindung. Diese Diskussion hat ja den schönen Titel "Deppenkontra". Im Gegenstück "Dummklopfer" wurde schonmal ein Modell zum Doppeln diskutiert. Damals mit Würfeln und nicht mit einer Urne, aber im Prinzip dasselbe, siehe https://www.sauspiel.de/forum/diskussionen/72...

Und im Modellspiel kommt raus, dass nicht die besten 50% gedoppelt werden sollten, sondern nur die besten 33%. Der Schwellwert ist also genau derselbe wie in unserem Modell zum Kontra, was ich nicht unbedingt erwartet hätte.

Das Doppel-Modell ist aber deutlich weiter vom Schafkopfen entfernt als das fürs Kontra geben, denn beim Doppeln agieren ja in Wirklichkeit 4 unabhängige Parteien (und nicht nur zwei). Die Schlussfolgerung, dass die optimale Klopferquote 33% ist, würde ich also nicht so ohne weiteres unterschreiben. Aber die Tendenz wird schon grob stimmen, und 50% sind es definitiv nicht.

@suchtsau: deine funktion hat einen sattelpunkt. und der liegt auch richtig.
nur der damit berechnete erwartungswert kann nicht stimmen. für x =2/3 beträgt der ew ohne kontra ja bereits 1/3. er muss also mit kontra und für y= 5/6 drüber liegen. bei dir sind es aber nur 0.13

Mit "Erwartungswert" meine ich den Wert des Spiels in Abhängigkeit der von A und B gewählten Strategie, also in Abhängigkeit des Kontra- und Re-Schwellwerts a und b. Die zufällig gezogenen Zahlen x und y sind die Zufallsvariablen, über die der Erwartungswert f gebildet wird, diese tauchen dann nicht mehr als Variablen von f auf. Man kann aus der Funktion f also keinen "Erwartungswert für x=2/3 und y=5/6" rauslesen, sondern nur einen für a=2/3 und b=5/6. Letzteres ist dann der durchschnittliche Gewinn bzw. Verlust von Spieler A pro Spiel, der sich einstellt, wenn die beiden Spieler das Spiel sehr oft spielen, und zwar mit der Strategie dass A ab 2/3 Kontra gibt und B ab 5/6 Re.

Was ist denn deiner Meinung nach der Erwartungswert des Spiels?

langsam blick ich durch, bei dem, was du machst.
ich hab lange nicht kapiert, was du mit x und y bzw. a und b machst. bei meinen überlegungen ist praktisch a und x, bzw. b und y von anfang an identisch. dann ergibt sich aber für eine gewinnwahrscheinlichkeit von x=a=2/3 (ohne kontra oder re) bereits ein erwartungswert von 1/3.
für kontra, re und zusätzlich y=b= 5/6 wieder 1/3.

"bei meinen überlegungen ist praktisch a und x, bzw. b und y von anfang an identisch."

Aber warum soll das legitim sein? Wenn du z.B. von der "Gewinnwahrscheinlichkeit von x=a=2/3" sprichst, dann würde A doch die ganze Zeit das überdurchschnittliche "Blatt" 2/3 bekommen. Klar kommt da dann auch ein überdurchschnittlicher Erwartungswert raus.

Bei eurer Diskussion fühl ich mich so wie viele hier am Schafkopftisch

das ist legitim, wenn man einfach davon ausgeht, dass A die Gewinnwahrscheinlichkeit x hat und B y. Da spielt ja zunächst überhaupt keine Rolle, was die optimale Strategie ist. Man nimmt einfach die beiden Werte, geht von kontra re aus und berechnet dann der Erwartungswert (und nicht die Abweichung davon) hab ich oben eigentlich genau beschrieben. und ohne kontra ist der Erwartungswert doch ganz offensichtlich 2x-1

es geht natütlich um den erwartungswert unter der bedingung, dass A seine Gewinnwahrscheimlichkeit kennt. Aber da hilft dein Urnenmodell sehr gut dabei.

Irgendwie ist jetzt der Wurm drin. Der Ausgangspunkt für diese neuere Diskussion war dein Kommentar "das Ergebnis für den Erwartungswert kommt nicht richtig raus".

Nochmal zur Klarstellung: Mit Erwartungswert meine ich den durchschnittlichen Gewinn/Verlust von Spieler A, wenn beide über lange Zeit mit ihrer optimalen Strategie a=2/3 und b=5/6 spielen. Ich bin nach wie vor der Meinung, dass 5/36 = 0,1388 die korrekte Antwort darauf ist.

Du hattest noch geschrieben
"nur der damit berechnete erwartungswert kann nicht stimmen. für x =2/3 beträgt der ew ohne kontra ja bereits 1/3. er muss also mit kontra und für y= 5/6 drüber liegen. bei dir sind es aber nur 0.13"

Diesen Einwand halte ich nicht für stichhaltig, denn du vergleichst meinen Wert 0,1388 mit dem Resultat, wenn immer x=2/3 ist. Es muss für x aber doch das komplette mögliche Intervall von 0 bis 1 berücksichtigt und darüber gemittelt werden.

Meine Frage "Was ist denn deiner Meinung nach der Erwartungswert des Spiels?" hast du bisher nicht so richtig beantwortet.

da reden wir tatsächlich von verschieden dingen. für mich ist ein erwartungswert der eines konkreten spiels. der setzt dann voraus, dass ich die gewinnwahrscheinlichkeit x kenne.
das was du beschreibst, wäre für mich der durchschnittliche erwartungswert über alle x.dann passt es auch zusammen, weil in deinem f ja nicht x und y betrachtet werden, sondern a und b.

in bezug auf die fragestellung ist ja auch der erwartungswert des spielers wichtig, der sich ausgehend von einer konkreten gewinnwahrscheinlichkeit seine optimale strategie überlegt. da sind wir uns ja einig, dass es ab etwa 67% sinnvoll ist ein kontra zu geben. dein erwartungswert ist in diesem zusammenhang bezogen auf das schsfkopf eher theoretischer natur. weil er voraussetzt, dass A und B gleiche Startbedingungen haben.

spannend ist, ob sich die frage mit bock (erstmal) auch noch so klären lässt

Geht's einfach raus und spuits Schafkopf. ;)

Ich habe mir das mit Bock jetzt angeschaut und tatsächlich lässt sich das eigentlich genauso durchrechnen wie zuvor.

Der Bock-Mehrwert im Erwartungswert ist 4*(1-c)*(c-b); dabei ist c der Bock-Schwellwert. Damit komme ich ähnlich wie zuvor auf die optimale Strategie a=5/8 = 62,5%, b=7/8 = 87,5%, c=15/16 = 93,75%.

Mich interessiert der Erwartungswert des Spiels schon. Es ergibt sich 3/16 = 0,1875. Der Wert ist etwas höher als die 0,1388 der Kontra-Re Variante, das passt also.

Auch sonst ist der Vergleich zur Kontra-Re-Variante konsistent. Spieler A hat mit dem Bock einen zusätzlichen Vorteil bekommen und kann demzufolge etwas aggressiver zu Werk gehen. Er kann jetzt schon bei 62,5 Kontra sagen und nicht erst bei 66,7. Spieler B muss defensiver spielen: Er sagt erst bei 87,5 Kontra und nicht schon bei 83,3.

Mit Hirsch hab ich es jetzt auch noch gerechnet.

Optimal sollte sein a=7/11 = 63,6%, b=19/22 = 86,4%, c=21/22 = 95,5%, d=43/44 = 97,7%. Der Wert des Spiels ist 2/11 = 0,182.

Zu einem Hirsch kommt es dabei im Schnitt alle 968 Spiele.

#1.337.116.808 Ich sag jetzt mal besser nix dazu

#1.337.117.411 Inspiriert der Thread, mich anzuspritzn???

die zahlen klingen plausibel

Aber die entscheidende Frage bleibt doch nun, wann ein Kontra die 67% erreicht. Die zwei, die der Pumuckl gepostet hat, sinds gefühlt nicht